'धमकी द्वारा प्रमाण': AI 'असंभव' गणित की समस्याओं को आत्मविश्वास से हल कर रहा है। लेकिन क्या यह शीर्ष गणितज्ञों को मना सकता है?

संयुक्त राज्य अमेरिका - इख़बारी समाचार एजेंसी

'धमकी द्वारा प्रमाण': AI 'असंभव' गणित की समस्याओं को आत्मविश्वास से हल कर रहा है। लेकिन क्या यह शीर्ष गणितज्ञों को मना सकता है?

गणित की जटिल दुनिया में, जहाँ सटीकता सर्वोपरि है, कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) की तीव्र प्रगति एक नई और चिंताजनक चुनौती पेश करती है। OpenAI के 'o4-mini' जैसे परिष्कृत AI मॉडल अब जटिल गणितीय प्रमाण उत्पन्न करने में सक्षम हैं जो आश्चर्यजनक रूप से विश्वसनीय लगते हैं, यहाँ तक कि अग्रणी गणितज्ञों को भी प्रभावित करते हैं। हालाँकि, यह उपलब्धि एक मौलिक प्रश्न उठाती है: क्या हम वास्तव में इन मशीन-जनित प्रमाणों पर भरोसा कर सकते हैं, खासकर जब वे 'सही' लगते हैं लेकिन सूक्ष्म खामियाँ छिपा सकते हैं या मानव सत्यापन के लिए बहुत जटिल हो सकते हैं?

2025 में एक गुप्त सभा में, दुनिया के कुछ प्रमुख गणितज्ञ OpenAI के नवीनतम बड़े भाषा मॉडल, 'o4-mini' की क्षमताओं का कठोरता से परीक्षण करने के लिए एकत्र हुए। उपस्थित विशेषज्ञों को मॉडल के आउटपुट की समानता से आश्चर्य हुआ, जो एक जटिल प्रमाण प्रस्तुत करते समय मानव गणितज्ञ के तर्क से मिलती-जुलती थी। वर्जीनिया विश्वविद्यालय में संख्या सिद्धांत के एक प्रतिष्ठित प्रोफेसर केन ओनो ने मॉडल के प्रदर्शन पर टिप्पणी की: "मैंने पहले कभी मॉडल में इस तरह का तर्क नहीं देखा है। एक वैज्ञानिक यही करता है।"

फिर भी, यह प्रारंभिक विस्मय जल्दी ही बढ़ती घबराहट से शांत हो गया। क्या AI को उसकी योग्यता से अधिक श्रेय दिया जा रहा था? और क्या हम AI-व्युत्पन्न प्रमाणों को पूरी तरह से समझे बिना स्वीकार करने का जोखिम उठा रहे हैं? प्रोफेसर ओनो ने स्वयं स्वीकार किया कि मॉडल आत्मविश्वास से भरे, फिर भी संभवतः गलत, उत्तर प्रदान कर सकता है। ओनो ने कहा, "यदि आप पर्याप्त अधिकार के साथ कुछ कहते हैं, तो लोग डर जाते हैं। मुझे लगता है कि o4-mini ने 'धमकी द्वारा प्रमाण' में महारत हासिल कर ली है; यह सब कुछ इतने आत्मविश्वास से कहता है।"

ऐतिहासिक रूप से, आत्मविश्वास और एक ठोस तर्क की उपस्थिति विश्वसनीय संकेतक थे, क्योंकि केवल सबसे कुशल गणितज्ञ ही सम्मोहक तर्क बना सकते थे, और उनका तर्क आमतौर पर मजबूत होता था। यह प्रतिमान बदल गया है। UCLA के फील्ड्स मेडल विजेता, प्रसिद्ध गणितज्ञ टेरी ताओ ने AI की शुद्धता की नकल करने की बढ़ी हुई क्षमता पर प्रकाश डाला। ताओ ने Live Science को बताया, "दुर्भाग्य से, AI के पास सही उत्तर होने का दिखावा करने की क्षमता, वास्तव में इसे प्राप्त करने से कहीं बेहतर है… सही हो या गलत; वे हमेशा विश्वसनीय लगेंगे।" "यदि आप एक भयानक गणितज्ञ होते, तो आप एक भयानक गणितीय लेखक भी होते, और आप गलत चीजों पर जोर देते। लेकिन AI ने उस संकेत को तोड़ दिया है।"

नतीजतन, गणितज्ञों को तेजी से यह चिंता हो रही है कि AI इस क्षेत्र को ऐसे प्रमाणों से भर सकता है जो सूक्ष्म त्रुटियों वाले हों, जिन्हें मनुष्यों के लिए खोजना मुश्किल हो। प्रोफेसर ताओ ने उनके कठोर दिखने के कारण AI-जनित तर्कों की आलोचनात्मक स्वीकृति के खिलाफ चेतावनी दी। उन्होंने दोहराया, "दुर्भाग्य से, AI के पास सही उत्तर होने का दिखावा करने की क्षमता, वास्तव में इसे प्राप्त करने से कहीं बेहतर है… सही हो या गलत; वे हमेशा विश्वसनीय लगेंगे।" उन्होंने AI 'प्रमाणों' के प्रति सतर्क दृष्टिकोण का आग्रह किया, यह कहते हुए, "एक बात जो हमने AI का उपयोग करने से सीखी है वह यह है कि यदि आप उन्हें एक लक्ष्य देते हैं, तो वे उस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए बेतहाशा धोखा देंगे।"

जबकि यह सवाल कि क्या हम वास्तव में प्रमाणों को समझे बिना अत्यधिक तकनीकी गणितीय अनुमानों को 'सिद्ध' कर सकते हैं, अमूर्त लग सकता है, इसके निहितार्थ गहरे हैं। यदि किसी प्रमाण पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, तो आगे के गणितीय विकास की नींव ढह जाती है। कम्प्यूटेशनल गणित में एक प्रमुख अनसुलझी चुनौती, P बनाम NP समस्या पर विचार करें। यह मूल रूप से पूछता है कि क्या जिन समस्याओं के समाधान आसानी से सत्यापित किए जा सकते हैं, वे भी आसानी से हल करने योग्य हैं। एक निश्चित प्रमाण योजना, लॉजिस्टिक्स, चिप डिजाइन और दवा की खोज में क्रांति ला सकता है। इसके विपरीत, एक सत्यापन योग्य प्रमाण अधिकांश वर्तमान क्रिप्टोग्राफ़िक प्रणालियों की सुरक्षा को कमजोर कर सकता है। ये अमूर्त प्रश्न नहीं हैं; वे महत्वपूर्ण वास्तविक दुनिया के जोखिमों को वहन करते हैं।

गैर-गणितज्ञों को यह जानकर आश्चर्य हो सकता है कि मानव-व्युत्पन्न गणितीय प्रमाणों में हमेशा एक सामाजिक तत्व रहा है - किसी तर्क की वैधता के बारे में साथियों को समझाने की प्रक्रिया। जब अन्य गणितज्ञ इसका विश्लेषण करते हैं और इसे सही मानते हैं तो एक प्रमाण आम तौर पर स्वीकार किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि व्यापक स्वीकृति निर्विवाद सत्य की गारंटी नहीं देती है। मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ एंड्रयू ग्रेनविले को संदेह है कि कुछ प्रसिद्ध और अच्छी तरह से जाँचे-परखे मानवीय प्रमाणों में भी त्रुटियाँ हो सकती हैं। ग्रेनविले ने Live Science को बताया, "कुछ प्रसिद्ध पत्र हैं जो मामूली भाषाई मुद्दों के कारण गलत हैं।"

इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण एंड्रयू विल्स का फर्मा के अंतिम प्रमेय का प्रमाण है। प्रमेय बताता है कि जबकि ऐसे पूर्णांक मौजूद हैं जहाँ एक वर्ग का योग दूसरे वर्ग के बराबर होता है (जैसे 3² + 4² = 5²), ऐसे कोई पूर्णांक नहीं हैं जो क्यूब्स या उच्च शक्तियों के लिए भी ऐसा ही करते हों। विल्स ने कथित तौर पर 1993 में अपना प्रमाण प्रस्तुत करने से पहले सात साल तक लगभग पूर्ण अलगाव में काम किया। घोषणा का व्यापक रूप से उत्सव मनाया गया, लेकिन सहकर्मी-समीक्षा प्रक्रिया के दौरान, एक महत्वपूर्ण दोष की पहचान की गई। विल्स ने समस्या को ठीक करने में एक और साल बिताया, लेकिन थोड़े समय के लिए, दुनिया ने सोचा कि समस्या हल हो गई है, जबकि वास्तव में ऐसा नहीं था।

इस तरह की त्रुटियों को रोकने के लिए - जहाँ गलत होने के बावजूद प्रमाण स्वीकार किए जाते हैं - औपचारिक सत्यापन भाषाओं की ओर एक बढ़ता हुआ आंदोलन है। ये कंप्यूटर प्रोग्राम, विशेष रूप से 'Lean', गणितज्ञों को बहुत सटीक प्रारूप में प्रमाणों का अनुवाद करने की आवश्यकता होती है। फिर सॉफ़्टवेयर कठोर गणितीय तर्क का उपयोग करके प्रत्येक चरण की सावधानीपूर्वक जाँच करता है। कोई भी विचलन एक त्रुटि को चिह्नित करता है, जिससे दोषपूर्ण तर्कों की स्वीकृति को रोका जा सकता है। यह एन्कोडेड औपचारिकता उन भाषाई अस्पष्टताओं को दूर करने का लक्ष्य रखती है जिनसे प्रोफेसर ग्रेनविले को डर है कि उन्होंने ऐतिहासिक रूप से गणितीय प्रमाणों को धूमिल किया है।

लंदन के इंपीरियल कॉलेज के एक गणितज्ञ और औपचारिक सत्यापन के एक प्रमुख पैरोकार, केविन बुज़ार्ड ने कहा, "मैंने इस व्यवसाय में इसलिए शुरुआत की क्योंकि मुझे चिंता थी कि मानवीय प्रमाण अधूरे और गलत थे और हम मनुष्य अपने तर्कों का दस्तावेजीकरण करने में खराब काम कर रहे थे।"

मौजूदा मानवीय प्रमाणों को सत्यापित करने से परे, YZ, Lean जैसे उपकरणों के साथ मिलकर, परिवर्तनकारी हो सकता है। प्रोफेसर ताओ ने टिप्पणी की, "यदि हम AI आउटपुट को औपचारिक रूप से सत्यापित भाषा में चीजें उत्पन्न करने के लिए मजबूर करते हैं, तो यह सिद्धांत रूप में, AI द्वारा विश्वसनीय लेकिन अंततः गलत प्रमाण उत्पन्न करने की समस्या को काफी हद तक हल करता है।" उन्होंने कहा, "गणित में ऐसे पत्र हैं जिन्हें कोई भी पूरी तरह से नहीं समझता है। आप जानते हैं, 20 लेखकों वाला एक पेपर है और प्रत्येक लेखक अपने हिस्से को समझता है। कोई भी पूरी बात नहीं समझता है। और इसमें कोई हर्ज नहीं है। ऐसा ही होता है।" बुज़ार्ड सहमत थे, "आप सोचना चाहेंगे कि शायद हम प्राप्त कर सकते हैं..."

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