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巴赫的音乐揭示数学秘密：新研究运用信息论解读作品结构
巴洛克时期德国作曲家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的音乐，长期以来以其精巧有序的结构而闻名，常被比作数学。然而，巴赫作品乃至整个音乐的情感影响力，早已超越了纯粹的逻辑组织；它传递着深刻的信息。如今，借助信息论的先进工具，研究人员正开始揭示巴赫音乐向听众传达这些信息的机制。
在最近发表于《物理评论研究》（Physical Review Research）的一项研究中，一个物理学家团队将巴赫的数百部作品转化为复杂的网络。在这些网络中，每个音符被表示为一个“节点”（node），音符之间的过渡则被描绘成“边”（edges）。这种抽象的表示方法使得科学家们能够量化每部音乐作品所承载的信息量。
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分析表明，巴赫的各种音乐风格，如众赞歌（chorales）和托卡塔（toccata），在它们传递的信息量方面存在显著差异。至关重要的是，研究人员发现这些音乐网络拥有组织结构，这些结构使得它们的信息更容易被人类理解。正如研究的主要作者、宾夕法尼亚大学物理学家苏曼·库尔卡尼（Suman Kulkarni）所解释的那样：“我只是觉得这个想法真的很酷。我们利用了物理学的工具，而没有对音乐作品做出任何假设，只是从这种简单的表示方法开始，看看它能告诉我们关于传递信息的事情。”
为了量化信息，研究人员采用了“信息熵”（information entropy）的概念，这是数学家克劳德·香农（Claude Shannon）于1948年提出的一个原理。这个概念与热力学熵密切相关，可以被理解为一个信息“意外程度”的度量。一个完全可预测的信息不包含任何信息，而具有高度新颖性或出乎意料性的信息则承载更多信息。
研究人员举例说明：与只会说一个词的人交谈，就像《权力的游戏》中的霍多尔（Hodor）一样，虽然可预测但缺乏信息量。同样，一个只由一个音符组成的音乐片段容易被理解，但无法传达任何有意义的信息。反之，复杂多变的乐句则承载着更丰富的信息内容。
然而，如果接收者无法理解，大量信息也是无效的。科学家们仍在探索人类如何学习和理解音乐。认知科学家马库斯·皮尔斯（Marcus Pearce）并未参与此项研究，他提出音乐学习依赖于“概率学习”（probabilistic learning）。在此框架下，听众通过根据先前音符预测下一个音符，然后根据预测的准确性或错误性来更新模型，从而构建音乐声音的心理模型。
库尔卡尼及其同事（他们是物理学家而非音乐家）运用信息论工具分析了巴赫的337部作品。他们将每部作品转化为由节点和边构成的网络，并计算了这些网络的“信息熵”。他们发现，巴赫的音乐网络比同等大小的随机生成网络包含显著更多的信息。这归因于“节点度”（nodal degrees）——即连接到每个节点的连线数量——的更大变化。
分析还揭示了巴赫音乐风格之间的明显差异。专为集体演唱设计的圣歌（chorales）被发现信息密度低于其他风格，但仍比随机网络更富含信息。而常为管风琴、羽管键琴和钢琴等键盘乐器创作的托卡塔和前奏曲（preludes），则表现出更高的信息熵。
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研究的联合作者丹妮·巴塞特（Dani Bassett）对“托卡塔中比众赞歌作品更高的惊喜程度”表示兴奋。她补充道：“这两种类型的作品在我内心感觉截然不同，我很有兴趣看到这种差异在作品信息中得以体现。”
该研究还表明，巴赫作品中的网络结构可能有助于人类听众准确地学习这些结构。人类在学习时往往存在“偏见”，倾向于关注大局而忽略某些局部细节。通过模拟这些偏见，研究人员将每个音乐网络中的总信息量与人类听众可能提取的信息量进行了比较。研究结果表明，音乐的组织结构有助于听众有效地处理信息，从而为巴赫音乐深沉的情感和审美影响力做出了贡献。
